北京市西城区2012年高三一模试卷
数 学（文科） 2012.4
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
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1．已知集合 ， ，那么 （ ） |
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（A） |
（B） |
（C） |
（D） |
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2．执行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出 的
值为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D） |
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3．若 ， ， ，则下列结论正确的是（ ） |
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（A） |
（B） |
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（C） |
（D） |
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4．如图，在复平面内，复数 ， 对应的向量分别是
， ，则复数 对应的点位于（ ） |
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（A）第一象限 |
（B）第二象限 |
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（C）第三象限 |
（D）第四象限 |
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5．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为 ，其三视图
中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ） |
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（A） |
（B） |
（C） |
（D） |
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6．若实数 ， 满足条件 则 的最大值为（ ） |
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（A） |
（B） |
（C） |
（D） |
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7．设等比数列 的前 项和为 ．则“ ”是“ ”的（ ） |
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（A）充分而不必要条件 |
（B）必要而不充分条件 |
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（C）充要条件 |
（D）既不充分又不必要条件 |
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8．已知集合 ，其中 ，且
.则 中所有元素之和是（ ） |
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（A） |
（B） |
（C） |
（D） |
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 已知向量 ， .若 ，则实数 _____.
10. 某年级 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于 秒
与 秒之间．将测试结果分成 组： ， ，
， ， ，得到如图所示的频率分
布直方图．如果从左到右的 个小矩形的面积之比为
，那么成绩在 的学生人数是_____．
11. 函数 的最小正周期为_____．
12. 圆 的圆心到直线 的距离是_____.
13. 已知函数 则 的零点是_____； 的值域是_____．
14. 如图，已知抛物线 及两点 和 ，其中 .过 ， 分别作
轴的垂线，交抛物线于 ， 两点，直线 与 轴交于点 ，此时就称 ，
确定了 .依此类推，可由 ， 确定 ， .记 ， .
给出下列三个结论：
① 数列 是递减数列；
② 对 ， ；
③ 若 ， ，则 .
其中，所有正确结论的序号是_____．
三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15.（本小题满分13分）
在△ 中，已知 ．
（Ⅰ）求角 ；
（Ⅱ）若 ，△ 的面积是 ，求 ．
16.（本小题满分13分）
某校高一年级开设研究性学习课程，（ ）班和（ ）班报名参加的人数分别是 和 ．现用分层抽样的方法，从中抽取若干名学生组成研究性学习小组，已知从（ ）班抽取了 名同学．
（Ⅰ）求研究性学习小组的人数；
（Ⅱ）规划在研究性学习的中、后期各安排 次交流活动，每次随机抽取小组中 名同学发言．求 次发言的学生恰好来自不同班级的概率．
17．（本小题满分14分）
如图，矩形 中， ， ． ， 分别在线段 和 上， ∥ ，将矩形 沿 折起．记折起后的矩形为 ，且平面 平面 ．
（Ⅰ）求证： ∥平面 ；
（Ⅱ）若 ，求证： ；
（Ⅲ）求四面体 体积的最大值．
18.（本小题满分14分）
已知椭圆 的离心率为 ，一个焦点为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设直线 交椭圆 于 ， 两点，若点 ， 都在以点 为圆心
的圆上，求 的值．
19.（本小题满分13分）
如图，抛物线 与 轴交于两点 ，点 在抛物线上（点 在第一象限）， ∥ ．记 ，梯形 面积为 ．
（Ⅰ）求面积 以 为自变量的函数式；
（Ⅱ）若 ，其中 为常数，且 ，求 的最大值．
20.（本小题满分13分）
对于数列 ，定义“ 变换”： 将数列 变换成数列 ，其中 ，且 .这种“ 变换”记作 .继续对数列 进行“ 变换”，得到数列 ，依此类推，当得到的数列各项均为 时变换结束．
（Ⅰ）试问 经过不断的“ 变换”能否结束？若能，请依次写出经过“ 变换”得到的各数列；若不能，说明理由；
（Ⅱ）设 ， ．若 ，且 的各项之和为 ．
（ⅰ）求 ， ；
（ⅱ）若数列 再经过 次“ 变换”得到的数列各项之和最小，求 的最小值，并
说明理由．
北京市西城区2012年高三一模试卷
数学（文科）参考答案及评分标准
2012.4
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1. C； 2. D ； 3. D； 4. B； 5. A； 6. B； 7. C； 8. C .
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. ； 10. ； 11. ；
12. ； 13. 和 ， ； 14. ① ② ③.
注：13题第一问2分，第二问3分; 14题少选1个序号给2分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.
15.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：由 ，得 ． ………………3分
所以原式化为 ． ………………4分
因为 ，所以 ， 所以 ． ………………6分
因为 ， 所以 ． ………………7分
（Ⅱ）解：由余弦定理，
得 ． ………………9分
因为 ， ，
所以 ． ………………11分
因为 ， 所以 . ………………13分
16.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：设从（ ）班抽取的人数为 ，
依题意得 ，所以 ，
研究性学习小组的人数为 ． ………………5分
（Ⅱ）设研究性学习小组中（ ）班的 人为 ，（ ）班的 人为 ．
次交流活动中，每次随机抽取 名同学发言的基本事件为：
， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
， ， ， ， ，共 种． ………………9分
次发言的学生恰好来自不同班级的基本事件为：
， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ，共 种． ………………12分
所以 次发言的学生恰好来自不同班级的概率为 ． ………………13分
17.（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：因为四边形 ， 都是矩形，
所以 ∥ ∥ ， ．
所以 四边形 是平行四边形，……………2分
所以 ∥ ， ………………3分
因为 平面 ，
所以 ∥平面 ． ………………4分
（Ⅱ）证明：连接 ，设 ．
因为平面 平面 ，且 ，
所以 平面 ， ………………5分
所以 ． ………………6分
又 ， 所以四边形 为正方形，所以 ． ………………7分
所以 平面 ， ………………8分
所以 ． ………………9分
（Ⅲ）解：设 ，则 ，其中 ．
由（Ⅰ）得 平面 ，
所以四面体 的体积为 ． ………………11分
所以 ． ………………13分
当且仅当 ，即 时，四面体 的体积最大． ………………14分
18.（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为 ，则 ． ………………1分
由 ， 得 ， 从而 ． ………………4分
所以，椭圆 的方程为 ． ………………5分
（Ⅱ）解：设 ．
将直线 的方程代入椭圆 的方程，
消去 得 ． ………………7分
由 ，得 ，且 ． …………9分
设线段 的中点为 ，则 ， ． ……………10分由点 ， 都在以点 为圆心的圆上，得 ， ………………11分
即 ， 解得 ，符合题意． ………………13分
所以 ． ………………14分
19.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：依题意，点 的横坐标为 ，点 的纵坐标为 ． ………………1分
点 的横坐标 满足方程 ，解得 ，舍去 ． ……………2分
所以 ． ………4分
由点 在第一象限，得 ．
所以 关于 的函数式为 ， ． ………………5分
（Ⅱ）解：由 及 ，得 ． ………………6分
记 ，
则 ． ………………8分
令 ，得 ． ………………9分
① 若 ，即 时， 与 的变化情况如下：
所以，当 时， 取得最大值，且最大值为 ． ………………11分
② 若 ，即 时， 恒成立，
所以， 的最大值为 ． ………………13分
综上， 时， 的最大值为 ； 时， 的最大值为 ．
20.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：数列 不能结束，各数列依次为 ； ； ； ； ；…．
以下重复出现，所以不会出现所有项均为 的情形． ………………3分
（Ⅱ）解：（ⅰ）因为 的各项之和为 ，且 ， 所以 为 的最大项，
所以 最大，即 ，或 ． ………………5分
当 时，可得
由 ，得 ，即 ，故 ．……………7分
当 时，同理可得 ， ． ………………8分
（ⅱ）方法一：由 ，则 经过 次“ 变换”得到的数列分别为： ； ； ； ； ； ．
由此可见，经过 次“ 变换”后得到的数列也是形如“ ”的数列，与数列
“结构”完全相同，但最大项减少12．
因为 ，
所以，数列 经过 次“ 变换”后得到的数列为 ．
接下来经过“ 变换”后得到的数列分别为： ； ； ； ； ；
； ，……
从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小．
所以经过 次“ 变换”得到的数列各项和最小， 的最小值为 ．
………………13分
方法二：若一个数列有三项，且最小项为 ，较大两项相差 ，则称此数列与数列 “结
构相同”．
若数列 的三项为 ，则无论其顺序如何，经过“ 变换”得到的数列的
三项为 (不考虑顺序) ．
所以与 结构相同的数列经过“ 变换”得到的数列也与 结构相同，除 外其余各项
减少 ，各项和减少 ．
因此，数列 经过 次“ 变换”一定得到各项为 (不考虑顺序)
的数列．
通过列举，不难发现各项为 的数列，无论顺序如何，经过“ 变换”得到的数列会
重复出现，各项和不再减少．
所以，至少通过 次“ 变换”，得到的数列各项和最小，故 的最小值为 ．
………………13分
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